Matematik
Matematik er et abstrakt og logisk fag, som leverer mange metoder til modellering og problemløsning i andre fag.
Det skriftlige arbejde er en meget væsentlig del af arbejdet i matematik. Afleveringerne bidrager både til forståelsen af stoffet og fungerer også som træning til skriftlig eksamen.
At formulere sig skriftligt i matematik tager lang tid at lære, fordi der kræves et meget præcist sprog med brug af mange fagudtryk.
Matematikopgaver
Hvorfor laver du en matematikopgave?
løbet af din gymnasietid får du jævnligt matematikopgaver for. Disse bruges til at teste din forståelse af den gennemgåede teori. Desuden fungerer matematikopgaverne også som træning til skriftlig eksamen.
Hvem skriver du til?
Dit arbejde har to modtagere: læreren og dig selv. Du skal mindst skrive så meget, at du selv kan vende tilbage til din besvarelse og forstå, hvad du har lavet, samt bruge det i en anden (lignende) sammenhæng. Ved at skrive på den måde, kan læreren uden problemer, vurdere, om din tilegnelse og forståelse af stoffet er tilstrækkelig.
Hvordan skriver du en matematikopgave?
Det er vigtigt, at du i dit arbejde altid har de tre „hvad’er” med:
- Hvad skal jeg?
Du skal ikke gengive opgaven ordret, men omformulere den, så det bliver tydeligt, hvilke oplysninger du får samt hvad du forventes at gøre - Hvad gør jeg?
Gør kort og præcist rede for, hvordan du har tænkt dig at løse den stillede opgave. Brug matematiske begreber og symboler og undgå at skrive lange formuleringer i hverdagssprog. - Hvad konkluderer jeg?
Når du er kommet frem til dit facit, skal du gøre det klart og tydeligt, hvad du endte med at få. Hvis opgaven handler om noget konkret, skal det fremgå tydeligt af din konklusion, hvad du nåede frem til.
Hvordan bedømmes en matematikopgave?
Din besvarelse bedømmes ud fra flere kriterier: matematisk sprogbrug, brug af symboler, brug af figurer og grafer, matematisk korrekthed og forståelse, valg af fremgangsmåde, brug af computer, forståelse af metoden og resultatet og korrektheden af facit.
Eksempler på matematikopgaver
En matematikrapport tager ofte udgangspunkt i et stykke matematisk teori eller emne, der ønskes behandlet og formidlet. Teorien vil efterfølgende blive benyttet på mere traditionelle matematikopgaver for at vise hvordan teorien kan anvendes. Det vil ofte være sådan at problemformuleringen er udarbejdet af læreren, således at styringen er ret stram.
Når du skriver en matematikrapport skal du huske følgende:
- Din modtager er på samme niveau som dig selv. Det er derfor vigtigt at benytte et fagligt matematisk sprog, klart at gøre rede for hvad der skal bevises og hvad der er givet, at gøre rede for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden.
- Tænk på at være sproglig præcis i din præsentation, at skrive tingene i den rigtige logiske rækkefølge og at henvise til delkonklusioner tidligere i opgaven, så rapporten fremstår som et hele der hænger sammen.
Metode i matematik
1. Matematiske metoder i SRP
Når du arbejder med matematik i SRP, er fokus et lidt andet end i den daglige matematikundervisning. I SRP bruger du matematikfagets metoder, når du:
- håndterer formler,
- oversætter almindeligt sprog til symbolsprog – og modsat,
- beskriver variabelsammenhænge,
- anvender it til at løse matematiske problemer,
- opstiller matematiske modeller, stiller spørgsmål ud fra modellerne, har blik for hvilke svar, der kan forventes, og er i stand til at formulere konklusioner i et klart sprog,
- analyserer givne matematiske modeller og foretager fremskrivninger,
- forholder dig til idealiseringer og rækkevidde af modellerne,
- foretager simuleringer,
- gennemfører hypotesetest,
- anvender simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale eller fænomener fra andre fagområder,
- anvender funktionsudtryk og afledet funktion i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder,
- løser differentialligninger,
- anvender forskellige fortolkninger af stamfunktion,
- opstiller geometriske modeller,
- løser geometriske problemer,
- giver en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i koordinatsystemer og udnytter dette til at svare på givne teoretiske og praktiske spørgsmål.
Matematik er på flere måder tæt knyttet til de naturvidenskabelige fag, men der er nogle grundlæggende forskelle mellem matematikkens metoder og videnskabsteori og naturvidenskabens metoder og videnskabsteori (se i næste afsnit). Når matematik indgår som fag i SRP-sammenhæng er det vigtigt at gøre sig klart, at det er matematikkens metoder, der arbejdes med og beskrives og altså ikke naturvidenskabens metoder.
Vi vil i næste afsnit give et bud på hvordan matematik kan beskrives med hensyn til videnskabsteori og metode.
2. Matematikkens videnskabsteori og metoder
Når man ser på matematikkens metoder, kan man skelne mellem skabelsen af matematisk viden og anvendelsen af matematisk viden.
Når man skaber ny matematisk viden, anvender man matematikken som isoleret videnskabelig disciplin, og i disse tilfælde er matematik er en aksiomatisk-deduktiv videnskab. Her søger man ud fra nogle grundlæggende antagelser, de såkaldte aksiomer, gennem logisk bevisførelse at udlede, at deducere, egenskaber for tal, geometriske figurer, funktioner og andre abstrakte strukturer. Det adskiller sig altså væsentligt fra de øvrige naturvidenskabelige fag som fx fysik, biologi, kemi og naturgeografi ved ikke at opstille hypoteser, som afprøves gennem eksperimenter. Det er dog ikke ensbetydende med, at matematik ikke kan være eksperimenterende: I nogle sammenhænge vil matematikeren prøve sig frem på baggrund af viden, erfaring og intuition og komme frem til formodninger om sammenhænge, strukturer og relationer inden for matematikken. Dette kaldes en induktiv tilgang. Hvis en formodning viser sig sandsynlig, forsøges den bevist på baggrund af det gældende aksiomatiske system og andre allerede beviste sætninger. Først når formodningen er deduktivt bevist, accepteres den som en gyldig sætning.
Groft sagt kan man altså inddele den matematiske metode i to: den induktive metode og den deduktive metode. De to metoder adskiller sig i væsentlig grad fra hinanden:
- Den induktive metode begynder ved de data, observationer eller kendsgerninger, som man iagttager, og arbejder sig frem mod en hypotese for til slut at stå med en beskrivelse, en forklaring eller en forudsigelse.
- Den deduktive metode begynder ved nogle indlysende sandheder eller påstande og udleder formler, sætninger med videre.
Som det fremgår af figuren, er det dog ikke altid, at man klart kan skelne mellem metoderne. Det er ofte ved anvendelsen af matematikken, at man lander i dette grænseland, hvor man anvender elementer fra begge metoder. Før vi kan se på dette, skal vi dog have uddybet både den deduktive og den induktive metode.
Den induktive metode
Den induktive metode er en metode, som vi ikke kun anvender i forbindelse med videnskab, men også i den daglige omgang med verden. Brænder man sig på en varm kogeplade, sætter man ikke hånden på denne kogeplade igen, fordi man af sin erfaring slutter, at ’kogepladen er varm’. Man slutter altså noget generelt ud fra sine egne, specifikke observationer. Læg mærke til, at man ikke nødvendigvis får en sand hypotese ud af sine slutninger – strengt taget kunne kogepladen jo godt være kold.
En matematiker, en statistiker og en biolog ser en sort ko på en mark.Biologen konstaterer, at ”alle køer i dette land formodentlig er sorte”, statistikeren konstaterer, at ”hovedparten af alle køer på marken nok er sorte”, mens matematikeren konstaterer, at ”han kan se én ko, og det eneste han kan sige, er, at den ene side af denne ko er sort”. |
Statistiske slutninger er eksempler på induktive slutninger: vi udtager en stikprøve og benytter den til at sige noget om populationen, men det er jo ikke sikkert, at vores stikprøve faktisk kan sige noget sandt om populationen. Her er det vigtigt at diskutere repræsentativitet at stikprøven. Hvis en stikprøve skal være pålidelig, skal den opfylde visse krav, fx skal stikprøven skal være stor nok, udtaget på passende vis og så videre.
Spørgsmål, du skal være opmærksom på i forbindelse med en induktiv undersøgelse:
|
Når en matematiker anvender induktiv metode som udgangspunkt for at skabe ny matematisk viden, og når frem til formodninger om sammenhænge, strukturer og relationer, som virker sandsynlige, så forsøges formodningerne bevist deduktivt. Først når formodningen er deduktivt bevist, accepteres den som en gyldig sætning.
Bemærk at der her principielt er et strengere krav til gyldighed, end der er i naturvidenskab, hvor en hypotese accepteres, hvis den er afprøvet (efter naturvidenskabens standarder) tilstrækkelig mange gange. I andre naturvidenskaber er der derfor altid mulighed for, at der kan ske en observation, som strider mod hypotesen, og som derfor vil kræve, at hypotesen forkastes eller forfines. I matematikken er beviste sætninger uangribeligt sande: De kan ikke lige pludseligt vise sig at være forkerte.
Den deduktive metode
Den deduktive metode resulterer i modsætning til den induktive metode altid i et 100 % sandt udsagn. Man taler inden for matematikken om den aksiomatisk-deduktive metode, fordi man i matematikken begynder med aksiomerne, som er påstande, man i matematikken har vedtaget som indlysende sande (dvs. de kan ikke bevises).
De mest kendte aksiomer blev opstillet af Euklid ca. 300 år f.v.t. Han grupperede aksiomerne i to grupper, hvoraf den sidste gruppe historisk set kalder postulater. Disse sidste fem grundantagelser om geometrien, som Euklid opstiller, danner grundlaget for det efterfølgende enorme system af beviser, som resten af han hovedværk Elementerne indeholder.
Mens de første fire aksiomer umiddelbart af alle matematikere accepteredes som aksiomer, blev historien en anden med det femte. Det femte aksiom blev i mange århundreder efter Euklid forsøgt bevist, indtil man til sidst accepterede det som et aksiom. De fem postulater eller aksiomer kan ses i boksen nedenfor.
1. For hvert par distinkte punkter P og Q findes der eksakt én linje, som går gennem begge af punkterne P og Q. 2.For hvert linjestykke AB og hvert linjestykke CD findes der et entydigt bestemt punkt E, således B ligger mellem A og E, og linjestykket CD er kongruent med BE. 3.For hvert par distinkte punkter O og A findes der en cirkel med O som centrum og OA som radius. 4.Alle rette vinkler er kongruente. 5.Hvis et linjestykke skærer to rette linjer, så de danner to indre vinkler på hver side, som tilsammen er mindre end to rette vinkler, så vil de to linjer, hvis de forlænges uendeligt, mødes på den side, hvor de to vinkler er mindre end to rette vinkler. |
Modellering: Når metoderne blandes
I gymnasieundervisningen vil man meget sjældent skabe nye matematiske teorier og metoder, men i stedet forsøge at anvende kendte teorier og redskaber på forskellige problemer. Når man anvender matematik til at løse problemer fra virkeligheden, så anvender man matematisk modellering. Matematisk modellering kan beskrives ud fra en model som nedenfor:
Når man gør brug af matematisk modellering, tager man udgangspunkt i et problem fra virkeligheden. Herefter foregår en cyklisk proces, hvor man først afgrænser og ordner det problem, der skal skabes en model af. Man ”oversætter” så at sige problemet til et område af matematikken. Dernæst skal man behandle de matematiske problemer, den opståede model giver anledning til (måske skal man løse ligninger eller analysere funktioner). Her kan man vælge mellem en række matematiske metoder, der kan bringe en frem til en matematisk konklusion.
Disse metoder kan opdeles i tre kategorier:
- Syntetiske metoder:Her kan man fx konstruere og måle på geometriske figurer, evt. i geometriprogram, eller undersøge en funktion ved at se på dens graf.
- Formelle metoder:Her løser man ligninger og omskriver formeludtryk, foretager differentiation med videre.
- Numeriske metoder:Her bruger man grafiske ”tilnærmede” løsninger fra et computerprogram eller en lommeregner, fx når man skal finde en funktions nulpunkter.
Til sidst bedømmer man modellens holdbarhed i forhold til modellens matematiske egenskaber og i forhold til den situation, modellen omhandler. Dette kaldes at validere modellen, hvor man argumenterer for dens gyldighed ved kritisk at analysere modellen, både i forhold til dens anvendelighed og i forhold til alternative modeller. Hvis modellen ikke kan valideres eller kun kan delvist valideres, startes processen forfra.
Dette materiale udarbejdet af JTS og LRP ved Horsens Gymnasium & HF ved at klippe/låne fra Matematiklærer foreningens arbejdsgruppe om ”Den nye skriftlighed i matematik” samt fra Undervisningsministeriets projekt om ”Matematisk videnskabsteori”; materialer fra begge findes på www.uvmat.dk. Dokumentet er senere tilrettet af SST og SVF.
Matematik i SRO
Hvordan laver du en SRO i matematik?
Start med at sætte dig ind i stoffet i så god tid som muligt. Udnyt din vejledning og få hjælp til at få struktur på stoffet.
De høje karakterer i matematik opnår man ved at behandle kompliceret stof korrekt. Korrekt betyder i denne sammenhæng, at man har lært sig det tilhørende fagsprog og i øvrigt demonstrerer en tydelig forståelse af stoffet. Matematik kan indgå på alle tre taksonomiske niveauer i Blooms taksonomi, men hører ofte naturligt hjemme på det analyserende niveau. Det er her, man ”regner” på tingene. I matematikfaget er solotaksonomien mere relevant (Link).
Nogle afsnit i din SRO vil naturligt høre hjemme i et af de to fag, mens andre afsnit (og altid indledningen og konklusionen) vil være tværfaglige og trække på begreber og viden fra begge fag.
Her følger nogle mere konkrete tips til udarbejdelsen til matematikafsnit i din SRO:
Udvælgelsen og struktureringen af stoffet:
Læs opgaveformuleringen nøje og sørg for, at du husker det hele.
Det er ikke sikkert at de stillede delspørgsmål skal besvares i rækkefølge, og det er ikke sikkert at du skal tage alt det med i et delspørgsmål, som du har arbejdet med, og forstået, hvis det betyder at opgaven bliver for lang, eller at andre punkter skal behandles for overfladisk.
Lav en foreløbig disposition, hvor du sætter nogle sider af til hvert underpunkt for at se om det går op. Angivne sidetal bør overholdes, men vi tæller ikke linjer og tegn i matematik.
I øvrigt skal opgaven skrives som din egen sammenhængende fremstilling, ikke som
”Jeg skal …”.
God sammenhæng i opgaven viser, at du har god forståelse af dit emne.
Bearbejdning af teori og beviser:
Du skal ikke selv finde på beviser m.m., men du skal vise at du forstår detaljer og/eller at du kan bruge de metoder, der knytter sig til dit emne.
Det vil tælle positivt, hvis der tilføjes mellemregninger og argumenter i beviser (”Her bruger vi Pythagoras’ sætning” eller ”da reglen for differentiation af… siger”, etc.) . Overvej om du selv forstår alle detaljer. Tag blyanten i hånden og regn efter. Overvej hvilke formler, regneregler og sætninger, der er benyttet. CAS bør som hovedregel ikke benyttes som argument.
Når flere kilder skal skrives sammen vil der ofte optræde forskellige symboler for de samme konstanter og/eller variable. Det viser forståelse, hvis du kan holde sig til det samme sæt symboler igennem hele opgaven.
Beregninger, grafer og tabeller:
Beregningseksempler, grafer og tabeller, der illustrerer væsentlige pointer og resultater i opgaven, anbringes i teksten hvor de hører hjemme og fraregnes ved bedømmelsen af opgavens sidetal. Lange serier af data, grafer o.l. bør placeres som bilag.
Fagsproget: Brug de korrekte udtryk. Man ”minusser” ikke, ligesom man ikke ”rykker over” i en ligning, men f.eks. trækker fra på begge sider.
Du bør også skelne mellem f. eks. definitioner og sætninger, mellem funktioner og deres grafer eller regneforskrifter osv.
Matematik i SRP
Udvælgelsen og struktureringen af stoffet:
- Læs opgaveformuleringen nøje og sørg for, at du husker det hele.
- Det er ikke sikkert at de stillede delspørgsmål skal besvares i rækkefølge, og det er ikke sikkert at du skal tage alt det med i et delspørgsmål, som du har arbejdet med, og forstået, hvis det betyder at opgaven bliver for lang, eller at andre punkter skal behandles for overfladisk.
- Lav en foreløbig disposition, hvor du sætter nogle sider af til hvert underpunkt for at se om det går op. Angivne sidetal bør overholdes, men vi tæller ikke linjer og tegn i matematik.
- I øvrigt skal opgaven skrives som din egen sammenhængende fremstilling, ikkesom ”Jeg skal …”.
HUSK: God sammenhæng i opgaven viser, at du har god forståelse af dit emne.
Bearbejdning af teoristoffet:
- Du skal ikke selv finde på beviser m.m., men du skal vise at du forstår detaljer og/eller at du kan bruge de metoder, der knytter sig til dit emne.
- Det vil tælle positivt, hvis der tilføjes mellemregninger og argumenter i beviser (”Her bruger vi Pythagoras’ sætning” eller ”da reglen for differentiation af… siger”, etc.) . Overvej om du selv forstår alle detaljer. Tag blyanten i hånden og regn efter. Overvej hvilke formler, regneregler og sætninger, der er benyttet.(Her bør CAS som hovedregel ikke benyttes som argument).
- Når flere kilder skal skrives sammen vil der ofte optræde forskellige symboler for de samme konstanter og/eller variable. Det viser forståelse, hvis du kan holde sig til det samme sæt symboler igennem hele opgaven.
- Du kan vise selvstændighed, hvis du selv kan lave illustrationer (fx grafer) eller selv finde egne eksempler i stedet for at tage dem i bogen)
Litteraturhenvisninger:
Det er vigtigt at lave litteraturhenvisninger. Læs her om hvordan.
Beregninger, grafer og tabeller:
Beregningseksempler, grafer og tabeller, der illustrerer væsentlige pointer og resultater i opgaven, anbringes i teksten hvor de hører hjemme og fraregnes ved bedømmelsen af opgavens omfang. Lange serier af data, grafer o.l. bør placeres som bilag.
Fagsproget:
Brug de korrekte udtryk. Man ”minusser” ikke, ligesom man ikke ”rykker over” i en ligning, men f.eks trækker fra på begge sider. Du bør også skelne mellem f. eks. definitioner og sætninger, mellem funktioner og deres grafer eller regneforskrifter osv.